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一、“探索规律”的教育价值

《数学课程标准（实验稿）》在“数与代数”领域设计了“探索规律”的内容，将其和认数、计算、方程等并列，并对每个学段的内容提出了具体的教学要求。探索规律的教育价值是什么呢？

1．探索规律是人们认识客观世界的重要手段，应该从小就培养学生探索规律的兴趣与能力。

客观世界非常复杂，又相当稳定而有序，这是因为客观世界里的事物、现象之间都是按某种规律存在和相互影响的。人类之所以能逐渐认识客观世界里的自然现象和社会现象，主要是由于逐渐发现并掌握了其中的规律。而且，人类不是被动地认识规律，而是主动地适应规律；不是简单地服从规律，而且能够科学利用规律，使客观世界成为适合人类生存和发展的空间。随着对客观世界规律的认识越来越丰富，越来越深刻，人类适应和利用、开发和改造客观世界的程度就越来越好，越来越高。比如，远古时代，人类受到昼夜规律的影响，形成了日出而作、日落而歇的生活习惯以及相应的生理机制。到了近代，人类发明了电，使用了电灯，相当于延长白天，缩短夜晚，于是就有了更长的活动时间。人类认识和利用客观规律，创造更好生存环境的例证，数说不尽。

人类探索规律已经几千年，但客观世界中还有大量现象有待了解和研究，还有很多新的规律需要探索和发现。未来社会要求每一个人都能在自己的学习和工作中具有探索规律的意识和能力，因而需要从小就开始培养。

2．探索规律能够发展学生的数学思维，有利于改变传统教学“重演绎、轻归纳”的倾向。

数学教育的根本目的是培养人，促进学生全面、持续、和谐发展，包括知识与能力的发展、生理与心理的发展、情感态度与价值观方面的发展。其中最重要、最关键的是数学思维能力的发展，人们的日常生活无时无刻不在进行思维。数学课程标准修订时将“双基”调整为“四基”，增加的基本数学思想和基本数学活动经验更与数学思维密切相关。可以说，“四基”的核心是数学思维，是为了促进学生的数学思维得到更好地发展。

思维的方法主要有比较与分类、分析与综合、抽象与概括，思维的形式主要有概念、判断、推理。思维形式通过各种思维方法来实现。形成概念的过程正是对具体对象进行比较、分类、分析、综合、抽象、概括的过程。判断是对事物、现象的是与否、对与错的界定，正确判断需要准确的概念来支撑。推理是从一个或几个已有的判断得出新判断。推理主要有演绎推理、归纳推理、类比推理。演绎推理从一般到特殊、从全体到个别，其前提和结论之间的联系是必然的，是一种确定性推理；归纳推理从特殊到一般、从部分到全体，有完全归纳和不完全归纳两种情况，完全归纳是确定性推理，不完全归纳是或然性推理；类比推理是根据两个对象某些属性相同，猜想它们的其他属性也可能相同，其结论具有或然性。人们把结论具有或然性的不完全归纳推理和类比推理等称为合情推理。

长期以来，数学教育注重采用“形式化”的方式发展学生的演绎推理能力（按照大前提、小前提和结论的三段论模式思考），合情推理能力的培养则有所忽视。其实，数学既需要演绎推理，也需要合情推理。科学结论（包括数学的定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……即通过合情推理提出猜想，然后通过演绎推理验证猜想正确或错误。演绎推理和合情推理是既不相同又相辅相成的两种推理形式。

我国数学教育历来讲究严谨、严密，要求有条有理、有根有据地思考，十分重视演绎推理的培养与应用。与之相比，归纳推理有些薄弱。学生思维的开放性、灵活性、创造性显得不足，这会严重影响人的创新意识和民族的创新能力。从维护国家地位、适应国际竞争的高度出发，要重视归纳推理，发展学生的合情推理能力。而探索规律是培养归纳推理的极好渠道。

3．探索规律能够促进学生数学学习方式的改善。

学习方式是学习者在学习时的心理取向与行为表现。面对学习内容和任务，每一个学生都会有自己的态度、情感和相应的行动的取舍，这些表现受学习方式的影响，也反映学生以怎样的方式学习。学习方式有积极与消极之分，有主动与被动之分，有意义与机械之分，有接受与发现之分。改善学习方式要造就积极、主动、有意义的学习，改变消极、被动、机械学习的状况。在数学教学中，学生有发现学习的机会，但不排斥接受学习。因为接受学习完全可以是积极主动、有意义的，仍然是学校教育的主要学习方式之一。新的学习方式的鲜明特征是积极性、主动性、能动性、合作性和获得成功，学习者表现出“我要学”的愿望、“我能学”的信心、有“自己学”的办法，乐意和他人一起学，享受学习的喜悦。

首先，探索规律的学习内容是探索学生身边有趣的、与数学有关的现象里的规律，以发现学习为主要方式。学生的学习活动经常是观察、操作、画图、实验、猜测、验证、归纳等探索研究性的活动，教师一般不直接给出结果或结论，学生自主学习的空间相当大。学生学习的收获主要是数学思想、数学活动经验和数学学习的情感体验。探索出的规律具体鲜明的个性特点，一般不具有“双基”性质，不同于必须掌握的知识技能，不需要大量的巩固练习。由于探索规律重视学生的探索过程与活动，关注学生个体的主观性知识，因而有益于新的学习方式的形成。

其次，数学的概念、法则、公式、性质等等都是规律性的知识，学生理解和掌握这些知识本质上都是认识和利用规律。与单独设计的探索规律内容的不同在于，这些规律具有很强的基础性，是数学的基础知识、基本技能，有很高的学习要求。如果学生具有探索规律的意识与能力，能够以探索规律的方式学习这些知识，数学学习的品位会更高，效果会更好。所以说，探索规律的学习方式会影响其他数学内容的学习，这种影响能改变传统数学内容的学习方式。

二、苏教版教材中探索规律的内容编排

为什么把探索规律安排在“数与代数”领域？

首先是“数与代数”领域中有大量的规律可以探索发现，其中一部分已经作为“双基”安排在课程内容里，还有许多仍然没有机会进入课程。在教学数、式和运算的时候，除了基础知识外，适时安排一些找规律的内容，能够丰富“数与代数”领域的数学内容，进一步充实数学活动，让学生感受“数与代数”里存在许许多多的规律。并且通过一些探索规律的活动，激发学生的学习热情，活跃数学思维，在某种程度上，也能加强对有关基础知识的体验。

其次是客观世界事物和现象的规律，经常用数或式来表示，数、式、方程、不等式都是呈现规律的数学模型。当然，除了数与式，图形和其他形式也可以描述规律，但数与式描述规律比较方便，数学化程度高，应用很多。在“数与代数”领域设计探索规律的内容目标，能够及时应用数与代数知识表示规律的本质属性，体现初步的模型思想，渗透模型意识。修订后的数学课程标准，把数学模型作为义务教育阶段数学课程的核心内容之一，因此，小学数学应该适当体现、有所渗透。

课程标准中两个学段“探索规律”的内容与要求是有差异的。第一学段是“发现给定的事物中隐含的简单规律”。苏教版教材考虑到学生的年龄、知识、能力和智力的实际情况，编排的探索规律简单而有趣，规律不难发现且容易表达。主要是让学生感受规律的存在，对规律产生兴趣，能够看出规律，并且利用学习的数、形、式表示简单的规律。同时，初步培养探索规律的情感态度以及自信。如：

（1）结合认数找规律。

二年级（上册）：

3、6、9、12、（    ）、（   ）

    3、7、11、15、（   ）、（   ）

二年级（下册）：

    在每组数中，分别选出一个最特别的数。

728、420、506、1000、391、229   111、369、333、555、777、999     202、303、404、505、606、789

三年级（下册）：

根据每一组数排列的规律，接着往下写。

0.1、0.3、0.5、0.7、（  ）、（  ）。

    0.1、0.5、0.9、1.3、（  ）、（  ）。

    8.1、7.2、6.3、5.4、（  ）、（  ）。

（2）结合计算找规律。

三年级（下册）：

先观察算式中的前三题，再填出括号里的数。

37×3＝111     13×7＝91

37×6＝222      13×14＝182

37×9＝333      13×21＝273

    37×（ ）＝444 13×28＝（）  37×（ ）＝555 13×35＝（）  37×（ ）＝666 13×42＝（  ）

37×（ ）＝777 13×49＝（  ）     37×（ ）＝（ ）13×（  ）＝（  ）

（3）在图形排列中寻找规律。

一年级（上册）：

照样子接着画下去。

○○○○○○○○……

△△△△△△△△△△……

这些找规律的内容以练习题的形式编排在教材中，规律隐含在已经认识的数、式、运算或图形里。学生联系学习的数、式、运算知识，以及直观认识的图形，体会数的排列、运算排列、图形排列的规律。以接着写、接着画的方式，表达发现的规律。

其实，结合数和运算的基础知识的教学，教材中还有很多蕴涵规律的数学内容。如，二年级整理加法表、减法表、乘法口诀表，要求学生看出表格里算式的排列规律。学生参与整理表格的活动，体会相邻算式之间的关系，利用这种关系使计算正确、迅速。

二年级（上册）：

把12个●摆一摆，填写表格。

行数	2	3		6
每行个数	6		3

要求学生通过摆圆片和填表格，体会圆片总数12个不变，摆的行数越多、每行个数越少；每行个数越多，摆的行数越少。在发现规律的同时，受到函数思想的熏陶。

在□里写出得数：

1＋3＝□          2×2＝□  

1＋3＋5＝□           3×3＝□

    1＋3＋5＋7＝□     4×4＝□

让有条件的学生感受上下两个算式的关系，体会下面的乘法计算可以代替上面的加法计算。

由于这些习题里“双基”的成分比较浓，教师教学时往往关注其中的基础知识、基本技能。其实，许多数学题中也有发现规律的因素可以利用。通过找规律，不同的学生在同一道题目里能够有不同的收获，这是新课程的理念。

第二学段“探索规律”的要求比第一学段高出很多，课程标准的内容目标是“探求给定事物中隐含的规律或变化趋势”。其一，事物中的规律或变化趋势，不再是简单而直观的，而是比较隐蔽，要通过“探求”来发现；其二，“探求”是探索规律内容与目标的重点，教学的效果与效益大多在探求的活动中、探求的过程中体现和实现；其三，发现的规律要用数学方法表示，不只是接着写、接着画，有些表示方法可以看作数学模型或者相当接近数学模型了。

苏教版教材主要用三种方式编排探索规律的内容：一是编排“找规律”为标题的单元，一个单元着重探索一类现象的规律。四、五年级的教材中每册安排一个。二是用计算器探索规律。在四年级（上册）“用计算器计算”单元里编排了一些习题，四年级（下册）“用计算器探索规律”单元中，着重发现积的变化规律、商不变的规律。三是在思考题里设计编排探索规律的问题，如多边形的内角和等。

下面简要分析五年级（上册）寻找“周期现象”中的规律。辞海对“周期”的解释是“天体（或其他物体）再度回到某一相对位置或恢复同一状态所需要的时间”。我们所说的“周期”不指时间，而是物体或现象循环出现过程中的一个“基本单元”，周期现象按这样的基本单元周而复始。“周期”与日常生活关系很密切。人们日复一日、年复一年地工作和生活，不是简单、机械地反复，而在重复中进步和发展。这是人们把握周期规律的结果，也是人与其他动物的不同。认识周期现象并发现它的变化规律，不仅能了解周期现象的现在，还能把握它的未来，具有现实的意义。

教学“周期现象”规律的主要任务是：（1）学生能够识别简单周期现象，找到周期的“基本单元”，并选用某种方式，解释或表示一个周期的结构。（2）学生能根据找到的周期，对周期现象的未来做出简单判断。两条任务中，前一条最重要，也最基础。认识周期现象，首先要看出“周期”，即循环变化的基本单元。学生是否正确认识某个周期现象，可以看他们指出的周期是不是正确，能不能选择适当的方式解释或描述一个周期的结构。判断周期现象的未来，也要建立在正确认识周期的结构基础上。

总体上看，这四个“找规律”单元的内容，具有现实性（日常生活往往遇到）、趣味性（对学生有吸引力）、思考性（含有丰富的数学内容和思维内容），适宜小学生探索研究。

三、“找规律”的教学线索及教学建议

苏教版教材每个“找规律”单元都安排两道例题，为探索一类现象的规律设计了过程与线索。例1在编写上有三个特点：

一是呈现的素材比较典型，一类现象的外部特点比较鲜明，具有吸引力。学生在现实、直观的情境里，对一类现象产生兴趣，通过对这类现象的直接感知，初步知道这类现象的一些外在特征。

二是有相当鲜明的操作因素，能引发学生的操作活动。操作是探索规律的重要手段，学生要通过自己的观察比较、制作演示等进行猜想验证、归纳概括，逐步认识一类现象隐含的共同特点，从而发现其中的规律或变化趋势。鲜明的操作因素，是引发学生进行操作的“诱因”，从而确立学生在“找规律”中的主体地位。

三是要概括一类现象的规律，用适当形式表示出来，这是例题的精华。概括规律是认识客观现象的标志。如果正确地概括出一类现象的规律，就准确了解了这类现象的本质特点。人们探索规律（包括学生找规律活动），应该概括出规律。概括规律是发展思维的极好时机。概括规律需要对一类现象去粗存精、去伪存真地抽象，需要对一类现象由表及里、由浅入深地归纳。概括规律是高强度、高效度的思维活动，是对思维的锻炼，能促进思维发展。尤其是以适当的形式表示规律，具有初步的数学建模思想，有利于学生良好思维品质的形成。尽管模型思想在小学数学里的要求不高，但是让学生适当经历（接触）一些建模活动与过程，是有好处的。

五年级（上册）“周期现象”的例1，在一幅图画里安排了三组有周期规律的现象：两种颜色花的周期排列、三种颜色彩灯的周期排列、不同颜色彩旗的周期排列，学生一眼就能看到这些排列是有规律的，直观感受到这些排列里都有循环、重复出现的特点，获得对周期现象的初步了解。

“描述”是认识周期规律的主要活动。由于周期现象的直观性，学生能把一些简单周期现象尽收眼底。但是，他们的认识还在表面的、整体的感知水平上。为了深入地、细致地、数学地认识周期现象，需要准确描述“一个周期”的结构与特点。为此，教材要学生说说：从左边起，盆花按什么顺序摆放？彩灯、彩旗呢？这些描述，既是学生愿意的，更是认识周期现象必要的。学生把顺序说清楚了，对周期的感知也就细致而正确了。

例题里的几种方法都能解决“左起第15盆是什么颜色花”的问题，每一种方法都利用了盆花的周期模型，只是模型的表现形式不同，解决问题的方法有些不同。如果用颜色描述周期，就产生画图解决问题的方法；如果用奇数和偶数描述周期规律，就会根据15的奇偶性解决问题。而15÷2＝7（组）……1（盆），是按2盆一个周期，前蓝后红的想法解题。这里的2盆一个周期，前蓝后红是盆花摆放的周期规律。利用除法解决第15盆花的颜色问题，促进学生对周期描述的数学化。类似地，彩灯的周期可以说成“三盏一个周期，依次是红、紫、绿色”；彩旗的周期规律可以说成“四面一个周期，先2面红色，再2面黄色”。

例2在编写上也有三个特点：

一是在变化的或者稍复杂的问题情境中，继续探索规律。第一道例题呈现的现象比较典型，便于学生直观感受一类现象的特点。第二道例题呈现的现象和问题情境则有些变化或稍微复杂些，而内在的规律仍然与前面相同。让学生在变化的、复杂些的情境里继续探索规律，能够维持学生探索规律的热情，进一步发挥探索规律的教育价值

二是在教学内容和探索规律的活动方面都与例1一脉相承。探索规律的活动主要是观察、操作、思考、表达，教材希望学生凭借对两道例题内在联系的感受，把前一题的探索活动及其经验应用到后一题的学习中。从另一个角度说，如果学生在例1中对一类现象的规律探索充分、认识深刻，那么在例2中学习的自主性和能动性一定会得到充分体现。

三是呈现典型现象的变式，加强对这类现象本质规律的认识。例1给出的是一类现象的典型状态，其中的规律用某种模型表示出来了。例2呈现典型现象的变式，是对这类现象本质规律的认识，不在变式问题的解答技巧上过多纠缠，更不以熟练解答变式问题为教学目的。

五年级（上册）“周期现象”的规律例2计算兔子队伍里有几只灰兔、几只白兔。解决这些问题，需要发现“3只兔子一组，先1只灰兔，再2只白兔”这个规律。学生在这里之所以会关注周期现象、研究周期规律，是前面例题的活动经验在起作用。学生在图画里能看出白兔与黑兔按照周期规律排列，会归纳这里的周期特征；他们联系已有数量关系进行推理，会想到18只兔子里有几个周期，从而形成解决问题的思路，找到解题方法。

有关周期的实际问题多种多样，例2只涉及一种，并且是比较容易的。不需要，也不可能把各种周期问题教全、教会。突出周期规律，学生能够看出各个问题里的周期规律，就达到了基本教学要求。即使遇到变化的、稍难的周期问题，学生联系周期规律，也有可能想出解法。

在前几年的教学中发现有些学生学习例2很轻松，也有学生赶不上，主要原因还在于例1的学习上。有的教师把例1的教学定位为发现规律，把例2的教学定位为应用规律。这也是看待全单元内容结构的一个角度。但是，在确定教学目标与任务时，不宜把例1视为教学规律的基础知识，把例2看成应用规律的基本技能。更不能把学生能否应用规律，是否记住和掌握规律，会不会解答有关规律的实际问题作为评价教与学的主要标准，甚至唯一标准。从课程标准的表述里我们能够体会到，探求活动、探求过程比探求结论更加重要。如果教学的着眼点、着重点不放在活动的过程与方法上，而过分关注结论，可能导致教学从探索发现规律变成接受记忆规律，从积累数学思想方法和数学活动经验变为加强“双基”，从需要特别重视的归纳推理又回到演绎推理。如果把例2看成在新的、变化的、复杂的情境里继续探求规律，对这部分内容课程目标的实现可能更有好处。

关于“找规律”的教学，有以下三个问题需要注意：

第一，仔细研究、充分理解教材。教材是教学的主要资源，呈现了教学的具体内容、基本线索、主要活动以及对规律的表示与描述的要求，为教学活动的展开搭建了很好的平台。“找规律”是一块崭新的数学教学内容，需要仔细研究、深入理解、准确把握。理解和把握教材要做到：清楚教学内容、明确教学任务，对教学的过程与活动心中有数。

第二，学生是探索规律的主体。“找规律”不以学生获得某些基础知识和基本技能为主要目的，而是学生通过找规律的活动，产生对规律的兴趣，初步形成探索规律的意识；结合找规律的活动发展数学思维，形成积极的情感态度与价值观。这些教学任务具有很强的个性特点，与传统数学内容的教学有较大不同。如果说一些数学概念、法则、公式等，可以通过教师传授学生有意义接受的方式教学，那么，探索规律的过程与方法只能是学生积极参与、主动进行。因为其中的操作、实验都要与数学思考有机融合，情感、态度与探索行为相互作用，对探索规律的价值体验、经验积累，无法由其他人替代。“找规律”的教学，迫切呼唤学生主体地位的回归与确立。学生不成为探索规律的主体，很难实现这个内容的教学目标。

学生在“找规律”时的主体性表现在以下几个方面：对一类现象感兴趣，有探求规律的愿望；联系已有的数学活动经验，选择并开展探索活动，收到比较明显的效果；有表达自己的发现，和同伴交流探索结果的热情；对自己的学习活动与结果感到满意。因此，学生探求规律的兴趣、已有的数学活动能力和现实思维水平，是重要的学习资源。在找规律的全过程中不间断地开展数学思考，是探索规律的内在动力。当然，教师的指导帮助、同伴的合作共享也是重要的，但都要转化成个体的积极性、主动性和能动性。

教师在教学时还需要具体考虑：怎样把学生对现象的兴趣转移到对规律的关注上；怎样激活学生已有的数学活动经验，让他们自主开展探索活动；如何帮助学生开展归纳推理，得出规律，选择什么形式表示规律等问题。

第三，积极改进教学评价，保障教学目标的实现。评价是一把双刃剑，有可能促进教学，也可能制约教学。既重视教学结果的评价，也重视教学过程的评价，已经被教师普遍认同和接受。“找规律”作为数学课程内容的一部分，其教学评价应该按新课程的评价理念进行。教学过程和结果的评价，应该不同于对数学“双基”教学的评价。

既重视结果、又重视过程是教学的理念，与之相应的评价是既关注学习的结果、也关注学习过程中的表现。“找规律”的学习结果主要看两点：一是有没有发现规律、发现了什么规律，以及对规律的表示与解释；二是对“找规律”的价值体验，感受探索规律对人类、对自己的意义与作用。“找规律”过程中的表现主要看两点：一是兴趣和信心；二是活动程度和思维水平。我们期望学生积极地参与探索规律的学习活动，并且获得成功，积累发现规律的自信心。期望学生动手、动脑，学习的能动性得到很好的发挥。

当然，评价学生“找规律”的学习，也可以让他们解决问题，用书面形式表现出对一类现象规律的认识和应用的情况。但是，这种评价形式不是主要的，更不是唯一的。学生的参与应该是评价的主要考察点，参与的态度、程度，参与的水平、收获是考察的重要内容。